एक फंक्शन का डोमेन क्या है?

क्षमता का स्थान स्वायत्त चर के संभावित गुणों की समाप्त व्यवस्था है।

स्पष्ट रूप से, इस परिभाषा का अर्थ है:

डोमेन सभी संभावित x मानों का समुच्चय है जो फ़ंक्शन को "काम" करेगा और वास्तविक y मान उत्पन्न करेगा।

जब आपको डोमेन मिल जाए, तो याद रखें:

• किसी भिन्न का हर (नीचे) शून्य नहीं हो सकता
• इस खंड में वर्गमूल चिह्न के नीचे की संख्या धनात्मक होनी चाहिए ।

क्षमता के क्षेत्र की खोज के लिए दृष्टिकोण

किसी फ़ंक्शन का डोमेन संख्याओं का समूह है जो किसी दिए गए फ़ंक्शन में प्रवेश कर सकता है। दिन के अंत में, यह x गुणों की व्यवस्था है जिसे आप किसी यादृच्छिक स्थिति में रख सकते हैं। बोधगम्य y मान की व्यवस्था को पहुंच कहा जाता है। यदि आपको यह समझने की आवश्यकता है कि विभिन्न परिस्थितियों में क्षमता के स्थान की खोज कैसे करें, तो इन तरीकों का पालन करें।

1. डोमेन की परिभाषा जानें।

डोमेन को इनपुट मानों के सेट के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसके लिए फ़ंक्शन आउटपुट मान उत्पन्न करता है। दूसरे शब्दों में, डोमेन x-मानों का पूरा सेट है जिसे y-मान उत्पन्न करने के लिए किसी फ़ंक्शन में सम्मिलित किया जा सकता है।

2. विभिन्न प्रकार के कार्यों के डोमेन को खोजने का तरीका जानें।

भूमिका का प्रकार डोमेन खोजने का सबसे अच्छा तरीका निर्धारित करता है। प्रत्येक प्रकार के फ़ंक्शन के बारे में जानने के लिए आपको यहां मूलभूत बातें दी गई हैं, जिन्हें अगले भाग में समझाया गया है:

• एक बहुपद फलन जिसमें हर में मूल या परिवर्तनशील न हो। इस प्रकार के फ़ंक्शन के लिए, डोमेन वास्तविक संख्याओं से बना होता है।
• हर में एक चर के साथ एक भाग के साथ क्षमता। इस प्रकार के फ़ंक्शन का डोमेन खोजने के लिए, निम्न मान को शून्य पर सेट करें और समीकरण को हल करके पाए गए x-मान को बाहर करें।
• एक रेडिकल साइन के भीतर एक चर के साथ एक फ़ंक्शन। इस तरह की क्षमता के स्थान की खोज करने के लिए, बस चरम चिह्न के अंदर की शर्तों को> 0 पर सेट करें और उन गुणों को खोजने के लिए पता करें जो x के लिए काम करेंगे।
• एक फ़ंक्शन जो प्राकृतिक प्रोटोकॉल (ln) का उपयोग करता है। बस शब्दों को कोष्ठक> 0 में रखें और हल करें।
• एक ग्राफ। यह देखने के लिए कि कौन से मान x के लिए कार्य करते हैं, ग्राफ़ पर एक नज़र डालें।
• एक रिश्ता। यह x और y निर्देशांकों की एक सूची है। आपका स्थान मूल रूप से x दिशाओं का एक ठहरनेवाला होगा।

3. डोमेन सही ढंग से दर्ज करें।

महारत-उपयुक्त अंकन सीखना आसान है, लेकिन यह महत्वपूर्ण है कि आप सही उत्तर व्यक्त करने के लिए इसे सही ढंग से लिखें और असाइनमेंट और परीक्षणों पर सभी अंक प्राप्त करें। किसी फ़ंक्शन का डोमेन कैसे लिखना है, इसके बारे में आपको कुछ चीज़ें जानने की आवश्यकता है:

• डोमेन को व्यक्त करने का प्रारूप एक खुला ब्रैकेट/कोष्ठक है, जिसके बाद 2 डोमेन समापन बिंदु अल्पविराम से अलग होते हैं, उसके बाद एक बंद ब्रैकेट/कोष्ठक होता है।
  • उदाहरण के लिए, [-1,5)। इसका मतलब है कि डोमेन -1 से 5 तक है।
• यह इंगित करने के लिए कि डोमेन में एक संख्या शामिल है, वर्गाकार कोष्ठकों जैसे [ और ] का उपयोग करें।
  • तो मॉडल में, [-1,5), स्पेस में शामिल है - १।
• यह इंगित करने के लिए कि कोई संख्या डोमेन में शामिल नहीं है, ( और ) जैसे कोष्ठकों का उपयोग करें।
  • तो मॉडल में, [-1,5), 5 को क्षेत्र से बाहर रखा गया है। डोमेन मनमाने ढंग से 5 से नीचे रुक जाता है, यानी 4,999…
• डोमेन के उन हिस्सों को जोड़ने के लिए "यू" (जो "यूनियन" के लिए खड़ा है) का उपयोग करें जो एक स्थान से अलग होते हैं। '
  • उदाहरण के लिए, [-1,5) यू (5,10]। इसका मतलब है कि डोमेन -1 से 10 तक शामिल है, लेकिन डोमेन में 5 पर एक अंतर है। यह इसका परिणाम हो सकता है, उदाहरण के लिए, हर में "x - 5" के साथ एक क्षमता।
  • यदि अंतरिक्ष में विभिन्न छेद हैं तो आप उतनी ही "यू" छवियों का उपयोग कर सकते हैं जितनी महत्वपूर्ण हैं।
• यह व्यक्त करने के लिए कि डोमेन किसी भी दिशा में अनंत रूप से जारी है, अनंत और नकारात्मक अनंत चिह्नों का उपयोग करें।
  • अनंत प्रतीकों के साथ हमेशा (), नहीं [] का उपयोग करें।
• कृपया ध्यान दें कि आप जहां रहते हैं उसके आधार पर यह संकेतन भिन्न हो सकता है।
  • ऊपर वर्णित नियम यूके और यूएस पर लागू होते हैं।
  • कुछ क्षेत्र यह व्यक्त करने के लिए अनंत चिह्नों के बजाय तीरों का उपयोग करते हैं कि डोमेन किसी भी दिशा में अनंत रूप से जारी है।
  • वर्ग कोष्ठक का उपयोग क्षेत्रों के बीच बहुत भिन्न होता है। उदाहरण के लिए, बेल्जियम गोल ब्रैकेट के बजाय बैक ब्रैकेट का उपयोग करता है।

ग्राफ़ के बिना डोमेन ढूँढना

ठीक है, तो मान लें कि हमारे पास पिछले खंड की तरह देखने के लिए किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ नहीं है ...

क्या हम अभी भी डोमेन और क्षेत्र ढूंढ सकते हैं?

डोमेन: हाँ (जब तक बीजगणित में बहुत अधिक बाल नहीं होते... और यह हमारे लिए नहीं होगा।)

क्षेत्र: वास्तव में नहीं (आमतौर पर आपको चित्र की आवश्यकता होती है - जब तक कि वास्तव में कुछ आसान न हो।)

तो हम केवल इन पर डोमेन कर रहे हैं - वैसे भी वास्तविक कार्रवाई कहां है।

किसी फ़ंक्शन का डोमेन पूछना पूछना पूछने के समान है

"क्या सभी संभव x लोग हैं जो मैं इस चीज़ में रह सकता हूँ?"

कभी-कभी आप जो खोज रहे हैं वह है

"क्या ऐसा कुछ है जिसके साथ मैं नहीं रह सकता?"

सुनना:

आइए का डोमेन खोजें

क्या आपको कोई x लोग दिखाई देते हैं जो यहां समस्या पैदा करेंगे?

व्हाट अबाउट ?

च(3) = 2/(3-3) = 2/0

तो, यहाँ x = 3 एक समस्या पैदा कर रहा है! बाकी सब सही है

स्पेस 3 के अलावा सभी वास्तविक संख्याएं हैं।

अंतराल संकेतन क्या होगा?

जब संदेह हो, तो इसे एक संख्या रेखा पर खींचे:

अंतराल अंकन को दो टुकड़ों में करें:

कार्यक्षेत्र

एक स्तरीय क्षमता के क्षेत्र की खोज करने का सबसे प्रभावी तरीका

यहाँ परिमेय फलन का प्रांत ज्ञात करने के लिए आवश्यक चरण दिए गए हैं:

चरण 01 : एक परिमेय फलन केवल एक भिन्न होता है और एक भिन्न में हर शून्य नहीं हो सकता क्योंकि यह अपरिभाषित होगा। उन संख्याओं का पता लगाने के लिए जो भाग को अस्पष्ट बनाती हैं, एक ऐसी स्थिति बनाएं जिसमें हर शून्य न हो।

चरण 02 : चरण 1 में व्युत्पन्न शर्त को हल करें। चरण 03 : अंतराल संकेतन का उपयोग करके अपना उत्तर लिखें।

उदाहरण 1 -

चरण 001 : एक परिमेय फलन केवल एक भिन्न होता है और एक भिन्न में हर शून्य के बराबर नहीं हो सकता क्योंकि इसे परिभाषित नहीं किया जाएगा। यह पता लगाने के लिए कि कौन सी संख्याएँ भाग को अनिश्चित बनाती हैं, एक ऐसी स्थिति बनाएँ जहाँ हर शून्य न हो

चरण 002 : चरण 1 में पाई गई स्थिति को हल करें। इस स्थिति के लिए, प्रत्येक पक्ष से 4 निकालें। चरण 003 : अंतराल संकेतन का प्रयोग करते हुए अपना उत्तर लिखें। इस मामले में, x -4 के बाद से हम प्राप्त करते हैं:

उदाहरण 2 -

चरण 0001 : एक परिमेय फलन केवल एक भिन्न होता है और एक भिन्न में हर शून्य नहीं हो सकता क्योंकि यह अपरिभाषित होगा। यह पता लगाने के लिए कि कौन सी संख्याएँ भिन्न को अपरिभाषित बनाती हैं, एक ऐसा समीकरण बनाएँ जहाँ हर गैर-शून्य हो।

चरण 0002 : चरण 1 में पाई गई स्थिति को हल करें। इस मामले में, हमें समस्या को ध्यान में रखना चाहिए। चरण 0003 : अंतराल संकेतन का प्रयोग करते हुए अपना उत्तर लिखें। इस स्थिति में, x -2 और x ≠ 7 से हम प्राप्त करते हैं:

बीजगणितीय रूप से एक फ़ंक्शन के डोमेन को खोजने के लिए चरण-दर-चरण निर्देश

किसी फ़ंक्शन के डोमेन को बीजगणितीय रूप से खोजने का प्रयास करते समय, यह किसी भी मान को खोजने में मददगार हो सकता है जो डोमेन में नहीं हो सकता है - ये वे मान हैं जो फ़ंक्शन को "ब्रेक" करेंगे या इसे अपरिभाषित करेंगे। वे मान जो आपको 0 से विभाजित करते हैं, एक नकारात्मक वास्तविक संख्या का वर्गमूल लेते हैं, या एक गैर-सकारात्मक संख्या का लॉग लेते हैं, वे आपकी सीमा में नहीं होंगे, क्योंकि वे अपरिभाषित कार्य देते हैं।

केस 1: 0 . से भाग देना

यदि आप 0 . से विभाजित करते हैं

उनका कार्य अपरिभाषित है। तो एक मान जो आपको आपके फ़ंक्शन के हर में 0 देता है वह डोमेन में नहीं है। उदाहरण के लिए, आइए फलन f (x) = 2x - 4 को देखें।

x के किस मान के कारण हर 0 होता है? x−4=0 →x=4

जब x=4, तब f(4)=2/0, जो अपरिभाषित है। इस प्रकार, 4 हमारे क्षेत्र में नहीं हो सकता। इन पंक्तियों के साथ, हमारा स्थान (−∞, 4) (4,∞) है।

वर्गमूल फ़ंक्शन का डोमेन कैसे खोजें

वर्गमूल कार्य के क्षेत्र का पता लगाने के लिए, असंतुलन x 0 को रेडिकैंड द्वारा प्रतिस्थापित x के साथ व्यवस्थित करें। उपरोक्त उदाहरणों में से किसी एक का उपयोग करके, आप असमानता में x के बराबर रेडिकैंड (x + 3) सेट करके f (x) = 2√ (x + 3) का डोमेन ढूंढ सकते हैं। यह आपको असमानता x + 3 ≥ 0 देता है, जिसे आप दोनों पक्षों से 3 घटाकर हल कर सकते हैं। यह आपको x -3 का समाधान देता है, जिसका अर्थ है कि आपके डोमेन में x के सभी मान -3 से अधिक या उसके बराबर हैं। आप इसे [-3, ) के रूप में भी लिख सकते हैं, बाएं कोष्ठक से पता चलता है कि -3 एक विशिष्ट सीमा है, जबकि दायां कोष्ठक दर्शाता है कि नहीं है। चूँकि मूलांक ऋणात्मक नहीं हो सकता, आपको केवल धनात्मक या शून्य मानों की गणना करनी होगी।

वर्गमूल फ़ंक्शन के डोमेन को खोजने के लिए आवश्यक चरण यहां दिए गए हैं:

चरण 1a : वर्गमूल में व्यंजक को शून्य से बड़ा या उसके बराबर सेट करें। हम ऐसा इसलिए करते हैं क्योंकि केवल गैर-ऋणात्मक संख्याओं का वास्तविक वर्गमूल होता है, दूसरे शब्दों में, हम ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल नहीं ले सकते हैं और वास्तविक संख्या प्राप्त कर सकते हैं, जिसका अर्थ है कि हमें उन संख्याओं का उपयोग करना होगा जो इससे बड़ी या उसके बराबर हों। शून्य।

चरण 2a : चरण 1 में पाए गए समीकरण को हल करें। याद रखें कि जब आप उन समीकरणों को हल कर रहे हैं जिनमें असमानताएं शामिल हैं, यदि आप किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते हैं, तो आपको असमानता के प्रतीक की दिशा को उलट देना चाहिए। चरण 3 क : अंतराल संकेतन का प्रयोग करते हुए उत्तर लिखें।

उदाहरण 1 - फ़ंक्शन का डोमेन खोजें:

चरण 1b व्यंजक को शून्य से बड़ा या उसके बराबर वर्गमूल के अंदर रखें। चरण 2b : चरण 1 में पाए गए समीकरण को हल करें। चरण 3ख : अंतराल संकेतन का प्रयोग करते हुए उत्तर लिखिए।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (एफएक्यू)

कंपाउंड फंक्शन का डोमेन कैसे पता करें

f∘g जैसे संयुक्त फलन का प्रांत g के प्रांत और f के प्रांत पर निर्भर करता है। यह जानना महत्वपूर्ण है कि हम कब यौगिक फलन लागू कर सकते हैं और कब नहीं, अर्थात् f∘g जैसे फलन के प्रांत को जानना। मान लीजिए कि हम फलनों f और g के प्रांतों को अलग-अलग जानते हैं। यदि हम सूचना x के लिए f (g (x)) के रूप में यौगिक क्षमता की रचना करते हैं, तो हम तुरंत देख सकते हैं कि अभिव्यक्ति के सार्थक होने के लिए x को g के स्थान से एक व्यक्ति होना चाहिए क्योंकि अन्यथा, हम पूरा नहीं कर सकते आंतरिक समारोह का मूल्यांकन। फिर भी, हम यह भी देखते हैं कि g (x) f के क्षेत्रफल का एक व्यक्ति होना चाहिए; किसी भी स्थिति में, f (g (x)) में क्षमता का दूसरा मूल्यांकन समाप्त नहीं किया जा सकता है और अभिव्यक्ति अभी तक विशेषता नहीं है। इसलिए, f∘g के स्थान में g के क्षेत्र में केवल वे मार्ग शामिल हैं जो g की पैदावार उत्पन्न करते हैं जिनका स्थान f के क्षेत्र के साथ होता है। ध्यान दें कि g से बना f का प्रांत सभी x का समुच्चय इस प्रकार है कि x, g के डोमेन में है और g (x) f के डोमेन में है।

उदाहरण:

का डोमेन खोजें

(f∘g) (x) जहां f (x) = 5 / x - 1 और g (x) = 4 / 3x - 2

समाधान:

g (x) g (x) के डोमेन में x = 2/3 को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ होती हैं क्योंकि यह इनपुट मान हमें 0 से विभाजित करेगा। इसी तरह, ff के डोमेन में 1 को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ शामिल हैं, इसलिए, हमें यह करने की आवश्यकता है g (x) के प्रांत से x का वह मान निकाल दें जिसके लिए g (x) = 1 है।

4/3x - 2 = 1 सेट करें g (x) 1 4 = 3x - 2 के बराबर 3x - 2 6 = 3x से गुणा करें दोनों पक्षों में 2 जोड़ें x = 2 3 से विभाजित करें

इसलिए f∘g का प्रांत 2/3 और 2 को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। इसका मतलब है कि

एक्स ≠ 2/3 या एक्स ≠ 2x ≠ 2

इसे हम इंटरवल नोटेशन में लिख सकते हैं जैसे

(−∞, 2/3) (2 / 3,2) ∪ (2, )

2. मैं लॉगिंग फ़ंक्शन का डोमेन कैसे ढूंढूं?

ग्राफ़ के साथ काम करने से पहले, आइए डोमेन (इनपुट मानों का सेट) पर एक नज़र डालें, जिसके लिए लॉगरिदमिक फ़ंक्शन परिभाषित किया गया है।

याद रखें कि घातांकीय फलन को \ displaystyle y = {b} ^ {x} y = bx के रूप में परिभाषित किया गया है, किसी भी वास्तविक संख्या x और स्थिरांक \ displaystyle b> 0b> 0,\displaystyle b\ne 1b ≠ 1 के लिए, जहां

3. मूलांक फलन का प्रांत कैसे ज्ञात करें?

रेडिकल फ़ंक्शन के डोमेन को खोजने के लिए आवश्यक कदम यहां दिए गए हैं:

चरण 1c : मूलांक का सूचकांक ज्ञात कीजिए । यदि सूचकांक एक विषम संख्या है, जैसे कि घनमूल या पाँचवाँ जड़, तो फ़ंक्शन का डोमेन वास्तविक संख्याओं से बना होता है, जिसका अर्थ है कि आप चरण 2 और 3 को छोड़ सकते हैं और सीधे चरण 4 पर जा सकते हैं यदि सूचकांक है एक सम संख्या, जैसे कि वर्गमूल या चौथा मूल, तब डोमेन खोजने के लिए, मूलांक के भीतर का व्यंजक शून्य से अधिक या उसके बराबर होना चाहिए। एक चरम क्षमता के स्थान को निम्नानुसार अभिव्यक्त किया जा सकता है:

चरण 2c : यदि सूचकांक एक सम संख्या है, तो शून्य से अधिक या उसके बराबर मूलांक के भीतर के व्यंजक को परिभाषित करें।

चरण 3c : चरण 2 में पाए गए समीकरण को हल करें। याद रखें कि जब आप असमानताओं वाले समीकरणों को हल करते हैं, यदि आप किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते हैं, तो आपको प्रतीक d 'असमानता की दिशा को उलट देना चाहिए।

चरण 4c : अंतराल संकेतन का उपयोग करके उत्तर लिखें।

उदाहरण 1 - फ़ंक्शन का डोमेन खोजें:

चरण 1d : मूलांक का सूचकांक ज्ञात कीजिए । इस मामले में, सूचकांक सम है।

चरण 2d : यदि सूचकांक एक सम संख्या है, तो शून्य से अधिक या उसके बराबर मूलांक के अंदर व्यंजक सेट करें चरण 3d : चरण 2 में पाए गए समीकरण को हल करें। चरण 4d : अंतराल संकेतन का उपयोग करके उत्तर लिखें।