फ़ैक्टर

क्या “पूरी तरह से कारक” निर्देशों के साथ एक संख्या या अभिव्यक्ति की दृष्टि आपके दिल में डर पैदा करती है? काश आपने बीजगणित में ध्यान दिया होता? खैर, यह आपको सिखाएगा कि किसी भी संख्या, या योग्य व्यंजक जैसे कि Ax^2 + Bx + C को कैसे फ़ैक्टर करना है।

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चरण 1: फैक्टरिंग नंबर

सबसे पहले, एक कारक क्या है?

"प्राकृतिक संख्या कारक" पूर्ण संख्याओं का पूरा सेट है, जहां यदि आप सेट में एक संख्या को दूसरे से गुणा करते हैं, तो आपको वह संख्या मिलती है जिसे आप फैक्टर कर रहे हैं।

उदाहरण के लिए, संख्या ५ के दो गुणनखंड हैं: १ और ५। संख्या ६ के चार गुणनखंड हैं: १, २, ३, और ६।

"पूर्णांक कारकों" में ऋणात्मक संख्याएँ शामिल हैं।

इस मामले में संख्या 5 के चार गुणनखंड होंगे: -5, -1, 1, और 5। 6 के आठ गुणनखंड होंगे: -6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, और 6।

(प्राकृतिक संख्याएं बिना भिन्न वाली संख्याएं हैं, 1, 2, 3, 4, 5 से शुरू होकर अनंत तक। पूर्णांक प्राकृतिक संख्याएं हैं, साथ ही उनके नकारात्मक समकक्ष और 0, या …-5, -4, - 3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5…)

प्राकृतिक संख्या सेट के साथ फैक्टरिंग संख्या सरल है। प्रत्येक संख्या के कम से कम दो गुणनखंड होते हैं। अन्य कारकों को खोजने के लिए, दो से शुरू होने वाली संख्या को विभाजित करना शुरू करें और जब तक आप उस संख्या को 2 से विभाजित न करें, तब तक काम करें। कोई भी भागफल जिसमें शेष नहीं है, इसका मतलब है कि भाजक और भागफल दोनों उस संख्या के गुणनखंड हैं।

मान लें कि आपको संख्या 9 का गुणनखंड करना है। आप समान रूप से दो से विभाजित नहीं कर सकते, इसलिए हम इसे छोड़ देते हैं। (समाधान नोट करें, 4.5, ताकि आप जान सकें कि बाद में कब रुकना है।) 9, 3 से विभाज्य है, इसलिए अपने कारकों की सूची में 3 जोड़ें। अपने तरीके से तब तक काम करें जब तक कि आप 5 से विभाजित न करें (9 को 2 से विभाजित करें, गोल करें)। आप कारकों की सूची के रूप में 1, 3 और 9 के साथ समाप्त होंगे।

जब पूर्णांक सेट में फ़ैक्टरिंग संख्याएँ होती हैं, तो आप प्राकृतिक संख्या फ़ैक्टरिंग से अपने समाधानों के ऋणात्मक समतुल्य को जोड़ सकते हैं। इसलिए 9 में -9, -3, -1, 1, 3, और 9 के गुणनखंड होंगे।

ऋणात्मक संख्याओं का गुणनखंडन केवल पूर्णांक गुणनखंड के साथ किया जा सकता है। समाधान वही है जो आपको संख्या के सकारात्मक संस्करण को फैक्टर करने के लिए मिलता है। -9 में -9, -3, -1, 1, 3 और 9 के गुणनखंड हैं।

शून्य ही एकमात्र पूर्णांक है जिसमें अनंत गुणनखंड होते हैं, और केवल एक ही ऐसा पूर्णांक होता है जिसमें कारक के रूप में शून्य होता है। छवि

चरण 2: व्यंजक से GCF का गुणनखंड करना

और नहीं, मेरा मतलब यह नहीं है कि आप अपने बॉस की अभिव्यक्ति को फैक्टरिंग करें क्योंकि आप उसे बताते हैं कि आपने गलती से ब्रेक रूम में कॉफी भर दी थी।

बीजीय व्यंजकों में संख्याएँ होती हैं, जिन्हें गुणांक कहा जाता है, और चर, जिन्हें घात तक बढ़ाया जा सकता है। व्यंजक में x^2 + 6x + 8, 1 चर x^2 का गुणांक है। (यदि आप किसी चर से पहले गुणांक नहीं देखते हैं, तो यह 1 है, क्योंकि x^2 को 1 से गुणा किया जाता है।) इसी तरह, 6 x^1 का गुणांक है। (एक अकेला चर एक की शक्ति तक बढ़ा दिया जाता है।) 8 को स्थिर कहा जाता है - इसे एक चर से गुणा नहीं किया जाता है। (आप कल्पना कर सकते हैं कि इसे x^0 से गुणा किया जा रहा है, और 0वीं शक्ति तक कोई भी संख्या 1 के बराबर है)।

एक व्यंजक का गुणनखंड करने के लिए, आपको GCF, या महानतम सामान्य गुणनखंड को निकालकर प्रारंभ करना होगा। व्यंजक के प्रत्येक घटक के कारकों की सूची बनाइए। यहाँ हम प्राकृत संख्या गुणनखंड ज्ञात करने में रुचि रखते हैं।

व्यंजक x^2 + 6x + 8 में ऐसे कारक होंगे जो इस प्रकार दिखाई देंगे:

x^2: 1 6x: 1 , 2, 3, 6 8: 1 , 2, 4, 8

यदि आप तीन सूचियों को देखें, तो केवल एक चीज है जो वे सभी साझा करते हैं, नंबर एक। इसका अर्थ है कि गुणनखंड करने के लिए एक से अधिक कोई गुणांक नहीं है।

फिर आप प्रतिपादकों की शक्तियों को देखें। 2, 1, और 0. यदि आपको एक शून्य दिखाई देता है, तो व्यंजक को एक चर द्वारा गुणनखंडित नहीं किया जा सकता है।

यह अभिव्यक्ति अगले चरण के लिए तैयार है।

यहां एक उदाहरण दिया गया है जिसमें एक GCF है जिसे निकालने की आवश्यकता है: 2x^3 + 18x^2 + 10x। प्रत्येक भाग का कारक:

2x^3: 1 , 2 18x^2: 1 , 2 , 3, 6, 9, 18 10x: 1 , 2 , 5, 10

यहाँ हम देख सकते हैं कि भागों में 1 और 2 समान हैं। हमें सबसे बड़ी संख्या 2 मिलती है।

फिर हम घातांकों की घातों को देखते हैं: 3, 2, और 1. सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जो 0 नहीं है, इस स्थिति में संख्या एक है। इसका मतलब है कि x^1, या बस x, को व्यंजक में विभाजित किया जा सकता है।

2x प्राप्त करने के लिए संख्या और चर को एक साथ गुणा करें। फिर व्यंजक के प्रत्येक भाग को 2x से विभाजित करें।

2x^3/2x = x^2 18x^2/2x = 9x 10x/2x = 5

GCF के साथ व्यंजक 2x (x^2 + 9x + 5) है। ध्यान दें कि आपको गुणनखंडित व्यंजक को कोष्ठकों में रखना चाहिए और उसके आगे GCF लिखना चाहिए। छवि

चरण 3: द्विपदों का गुणन करना

द्विपद वे व्यंजक हैं जिनमें केवल दो पद जोड़े जा रहे हैं।

2x^2 - 4x द्विपद का एक उदाहरण है। (आप कह सकते हैं कि 2x2 में एक ऋणात्मक 4x जोड़ा जा रहा है।)

सबसे पहले, GCF, 2x का गुणनखंड करें। आपके पास 2x (x - 2) बचा है। जहाँ तक यह द्विपद जा सकता है। 1x +/- n के रूप में किसी भी द्विपद का और अधिक गुणन नहीं किया जा सकता है।

जब आपके पास एक द्विपद है जो एक सम घातांक वाला एक चर है, एक ऋणात्मक संख्या में जोड़ा जाता है जिसमें एक वर्गमूल होता है जो एक प्राकृतिक संख्या होती है, तो इसे एक पूर्ण वर्ग कहा जाता है।

x^2 - 4 इसका एक उदाहरण है। इसे चर के वर्गमूल और धनात्मक स्थिरांक के वर्गमूल के गुणनफल के रूप में और चर के वर्गमूल को धनात्मक स्थिरांक के वर्गमूल से घटाकर व्यक्त किया जा सकता है।

हुह?

मूल रूप से, चर का वर्गमूल लें। आप x के साथ समाप्त होंगे। फिर 4 का वर्गमूल करें। आप 2 के साथ समाप्त होंगे। यदि आप उन्हें एक साथ जोड़ते हैं, तो आपको x+2 प्राप्त होगा। उन्हें घटाएं, और आपको x-2 मिलेगा। दोनों को गुणा करें, और आपको (x+4)(x-4) मिलेगा। आपने अभी-अभी एक पूर्ण वर्ग का गुणनखंड किया है।

यदि आप FOIL का उपयोग करके (x+2)(x-2) को एक साथ गुणा करते हैं, तो आप x^2-4 के साथ बैक अप लेंगे।

(एफओआईएल: पहला बाहरी आंतरिक अंतिम, दो द्विपदों को एक साथ गुणा करने का एक तरीका। द्विपद (इस मामले में एक्स और एक्स) के पहले शब्दों को गुणा करें, फिर बाहरी दो (एक्स और -2), फिर आंतरिक दो (2 और x), फिर अंतिम पद (2 और -2), फिर उन सभी को जोड़ दें। x^2 - 2x + 2x - 4 = x^2 - 4.)

यह फिर से किया जा सकता है यदि द्विपदों में से एक पूर्ण वर्ग है, जैसा कि इस उदाहरण में है:

x^4 - 16 = (x^2 + 4) (x^2 - 4) = (x^2 + 4) (x + 2) (x - 2)।

यदि आप अपरिमेय संख्याएँ लाते हैं, तो इसे और भी गुणित किया जा सकता है, चरण [9] देखें।

(x^3 + b^3) के रूप में द्विपदों का गुणनखंड कैसे करें:

बस (ए - बी) (ए ^ 2 + एबी + बी ^ 2) में प्लग इन करें। उदाहरण के लिए, (x^3 + 8) = (x - 2) (x^2 + 2x + 4)।

(x^3 - b^3) के रूप में द्विपदों का गुणनखंड कैसे करें:

प्लग इन करें (a + b) (a^2 - ab + b2)। ध्यान दें कि व्यंजक में पहले दो चिह्न स्विच किए गए हैं।

(x^3 - 8) = (x + 2) (x^2 - 2x + 4)।

एक बार जब आप चरण [४] में त्रिपदों का गुणनखंड करना सीख जाते हैं, तो दोनों उदाहरणों को और अधिक गुणित किया जा सकता है। छवि

चरण 4: त्रिपदों का गुणन करना

त्रिपद: एक व्यंजक जिसमें तीन पद एक साथ जोड़े जाते हैं। 2x^2 + 6x - 8 हमारे भाग्यशाली प्रदर्शक के रूप में कार्य करेगा।

सबसे पहले, GCF को फ़ैक्टर आउट करें। किसी भी व्यंजक को फ़ैक्टर करते समय यह हमेशा आपका पहला कदम होगा।

2 (x^2 + 3x - 4)

यदि आप GCF को निकालने के बाद x की घात दो से अधिक प्राप्त करते हैं, तो दूसरे चरण पर आगे बढ़ें।

अचर के पूर्णांक गुणनखंडों की सूची बनाइए। आप चाहते हैं कि दो जोड़ी उन्हें इस तरह जोड़े:

-4, 1 -2, 2 -1, 4

आप इनमें से एक को खोजना चाहते हैं कि जब जोड़ा जाता है तो दूसरे पद के गुणांक के बराबर होता है, 3. -1 + 4 = 3. यहां से, कोष्ठक के दो सेट x के अंदर लिखें:

(एक्स) (एक्स)

फिर कोष्ठक में काम करने वाले दो शब्दों को चिपका दें।

(एक्स -1) (एक्स + 4)

GCF को वापस जोड़ना न भूलें।

2 (एक्स -1) (एक्स + 4)

इस तरह आप एक ट्रिनोमियल को फैक्टर करते हैं।

यहाँ एक और है: 2x^2 + 11x - 6।

इस बार एक मोड़ है: x^2 का गुणांक 1 नहीं है। इसका मतलब है कि हम एक और कदम जोड़ेंगे:

अचर, -6, साथ ही x2, 2 के गुणांक के गुणनखंडों की सूची बनाएं।

-6, 1 -3, 2 -2, 3 -1, 6

1, 2

अब, आप बाईं ओर के प्रत्येक गुणनखंड को 1 से और दाईं ओर के 2 से गुणा करना चाहेंगे। 1 और 2 को स्विच करके दोहराएं। आप के साथ समाप्त होगा

-6, 2 -3, 4 -2, 6 -1, 12 -12, 1 -6, 2 -4, 3 -2, 6

वह युग्म ज्ञात कीजिए जो मध्य पद के गुणांक में जोड़ता है, इस स्थिति में, -1 + 12 = 11. कोष्ठक स्थापित करें:

(एक्स) (एक्स)

मूल संख्याओं में रहें (जो आपके पास 1 और 2 से गुणा करने से पहले थीं):

(एक्स -1) (एक्स + ६)

फिर एक और दो को x के गुणांक के रूप में चिपकाएं ताकि जब आप बाहरी और आंतरिक पदों को गुणा करें और उन्हें एक साथ जोड़ दें, तो आपको 11 मिलेगा।

(2x - 1) (x + 6)

अगर आप अपने काम को फॉलो आउट करके देखते हैं, तो आपको 2x^2 + 11x - 6, वह एक्सप्रेशन मिलेगा जिसके साथ आपने शुरुआत की थी। बधाई! छवि

चरण 5: प्रतिस्थापन द्वारा त्रिपदों का गुणन करना

9x^4 + 45x^2 + 14.

क्या आपको नहीं लगता कि इस व्यंजक को छोटी संख्याओं और परिवर्तनशील घातों के साथ गुणनखंड करना आसान होगा?

आप निम्न संख्या और परिवर्तनीय शक्ति को इस प्रकार प्रतिस्थापित कर सकते हैं:

सेट n = 3x^2 (परिवर्तनीय शक्तियों का जीसीएफ, और संख्याओं के गुणांक के जीसीएफ का वर्गमूल x की शक्ति से गुणा किया जाता है)। फिर मूल व्यंजक में पदों को n से विभाजित करके इसे प्रतिस्थापित करें।

एन^2 + 15एन + 14.

अब आप आसानी से फैक्टर कर सकते हैं।

(एन + 14) (एन + 1)।

3x^2 को वापस उस व्यंजक में चिपकाएं जहां n हैं।

(3x^2 + 14) (3x^2 + 1)। छवि

चरण 6: द्विघात समीकरण

यदि आपको कोई भी संयोजन (चरण 4 से) नहीं मिलता है, तो आपको द्विघात समीकरण का उपयोग करना होगा।

(-b +/- sqrt (b^2 - 4ac))/2a

(वर्ग (#) = # का वर्गमूल)

जहाँ एक त्रिपद का रूप ax^2 + bx + c होता है।

इसलिए, यदि आप 1x^2 + 3x + 2 के साथ द्विघात सूत्र का उपयोग करना चाहते हैं, तो आप इस तरह प्लग इन करेंगे:

(-3 +/- sqrt (3^2 - 4 (-2) (1))/2.

यह (-3 +/- sqrt 17)/2 तक सरल हो जाता है। 1x^2 + 3x + 2 के गुणनखंड होंगे (x - ((-3 + sqrt 17)/2)) (x - ((-3 - sqrt 17)/2))। (आप उत्तर को "x -" के दाईं ओर चिपकाते हैं। यह क्यों काम करता है, इसके बारे में और अधिक, चरण [8] में।) छविछवि

चरण 7: समूहीकरण द्वारा बहुपदों का गुणन करना

कभी-कभी आपको चार या अधिक शब्द मिलेंगे, जो कुछ इस तरह दिखते हैं:

2x^2 + 6x^3 + 5x^7 + 15x^8

कोई सामान्य गुणांक नहीं है, और x^2 को गुणन करने से बहुत मदद नहीं मिलती है। यह वह जगह है जहां आप ग्रुपिंग टू फैक्टर का उपयोग करेंगे।

समूहीकरण का अर्थ है व्यंजक के केवल दो पदों का GCF निकालना। आप देख सकते हैं कि 2x^2 + 6x^3 और 5x^7 + 15x^8 दोनों में GCF निकाला जा सकता है। ऐसा करो।

2x^2 (1 + 3x) + 5x^7 (1 + 3x)

ध्यान दें कि एक सामान्य गुणनखंड है, 1+3x। इस व्यंजक को (2x^2 + 5x^7) (1 + 3x) में फिर से लिखा जा सकता है। आपका जवाब है।

ध्यान दें कि (2x^2 + 5x^7) (1 + 3x) को पहले द्विपद: x^2 (2 + 5x^5) (1 + 3x) से x^2 का गुणनखंडन करके और अधिक गुणनखंडित किया जा सकता है। छवि

चरण 8: सिंथेटिक डिवीजन द्वारा बहुपदों का फैक्टरिंग

कभी-कभी आपको ऐसे बहुपद मिलेंगे जो ऐसे दिखते हैं जैसे उनकी कोई उम्मीद नहीं है।

3x^3 + 8x^2 - 9x + 2 एक उदाहरण है। आप GCF को इस तरह से निकालने के लिए समूहीकरण का उपयोग नहीं कर सकते हैं जो एक सामान्य कारक उत्पन्न करे।

यह कैसे काम करता है यह समझाने के लिए, आपको यह जानना होगा कि फैक्टरिंग द्वारा समीकरण को हल करते समय, आपको फ़ैक्टर आउट चीज़ को 0 के बराबर सेट करना होगा और यह पता लगाना होगा कि एक्स क्या बराबर है ताकि यह शून्य के बराबर हो। उदाहरण के लिए, 0 = (x - 2) (x + 1)। समाधान 2 और -1 हैं।

यदि एक बहुपद में पूर्णांक गुणांक होते हैं, तो प्रत्येक शून्य या हल का रूप P/Q होता है, जहाँ P = अचर पद का गुणनखंड और Q = अग्रणी गुणांक का एक गुणनखंड होता है।

मूल रूप से, यदि आप स्थिरांक के सभी कारकों को सूचीबद्ध करते हैं, और उन्हें प्रत्येक संयोजन में प्रमुख गुणांक (उच्चतम शक्ति वाले चर के बगल में गुणांक) के कारकों से विभाजित करते हैं, तो आपको संभावित तर्कसंगत समाधानों की एक सूची मिलेगी। यह आपको कारक बनाने में कैसे मदद करता है? यदि आपको हल के रूप में 2 मिलते हैं, तो आप पीछे की ओर कार्य कर सकते हैं और कह सकते हैं कि समीकरण का एक गुणनखंड (x - 2) था।

तो, उदाहरण पर वापस:

2 के गुणनखंड +/- 1, +/- 2 (आपको ऋणात्मक शामिल करने की आवश्यकता है) 3: +/- 1, +/- 3 के गुणनखंड

पी/क्यू: +/- 1, +/- 1/3, +/- 2, +/- 2/3

एक बार आपके पास अपनी सूची हो जाने के बाद, आप यह देखने के लिए सिंथेटिक डिवीजन नामक किसी चीज़ का उपयोग करेंगे कि इनमें से कौन से पी/क्यू वास्तव में समाधान हैं।

सिंथेटिक विभाजन बहुपदों को xk के रूप के द्विपद से विभाजित करने का एक तरीका है। मैं यह नहीं बताऊंगा कि यह कैसे काम करता है, लेकिन केवल यह दिखाएं कि इसे फैक्टरिंग के लिए कैसे उपयोग किया जाए।

सबसे पहले, अपने P/Q में से एक को एक छोटे से बॉक्स या कोष्ठकों के सेट में रखें, फिर उसके आगे एक पंक्ति में गुणांक और स्थिरांक सूचीबद्ध करें। यदि बहुपद एक घात (x^2 + 2) को छोड़ देता है तो आपको उस स्थान के लिए 0 जोड़ना होगा जहां x1 होना चाहिए था।

(अभिव्यक्ति: 3x^3 + 8x^2 - 9x + 2)

(तारांकन पर ध्यान न दें, उनका उपयोग प्लेसहोल्डर के रूप में किया जाता है। बेहतर अभी तक, पहली तस्वीर देखें।)

(१) ३ ८ -9 २

एक रिक्त स्थान छोड़ें, एक रेखा खींचें, फिर पहला पद, 3, नीचे छोड़ें।

(१) ३ ८ -9 २

***3

फिर इसे बॉक्स में संख्या से गुणा करें और अगले पद के नीचे रखें।

(१) ३ ८ -9 २ ******* ३ ***३

8 + 3 . जोड़ें

(१) ३ ८ -9 २ ******* ३ ***३ ११

गुणा करें।

(१) ३ ८ -9 २ ******3 11 ***3 11

जोड़ें।

(१) ३ ८ -9 २ ******3 11 ***3 11 2

गुणा करें।

(१) ३ ८ -9 २ ******3 11 2 ***3 11 2

जोड़ें।

(१) ३ ८ -9 २ ******3 11 2 ***3 11 2 4

संख्याओं की वह स्ट्रिंग, ३, ११, २, ४, आपको एक डिग्री कम के साथ एक व्यंजक देती है (यदि मूल व्यंजक में उच्चतम घातांक ३ है, तो भागफल में उच्चतम घातांक २ होगा) साथ ही साथ शेष भी।

(मूल अभिव्यक्ति: 3x^3 + 8x^2 - 9x + 2)

भागफल: 3x^2 + 11x + 2 शेष 4

यदि आपको शेषफल मिलता है, तो आपके द्वारा आजमाए गए बॉक्स में दी गई संख्या समीकरण का हल नहीं है। अपनी सूची से उस नंबर को क्रॉस करें, और किसी अन्य नंबर के साथ पुन: प्रयास करें। यह काफी अनुमान और जाँच है।

आखिरकार आप 1/3 कोशिश करेंगे और आप पाएंगे कि यह सफाई से विभाजित होता है। आप के साथ समाप्त हो जाएगा:

(x - 1/3) (3x^2 + 9x - 6)।

अब जब आपके पास घात दो का त्रिपद है, तो आप वापस जा सकते हैं और इसका गुणनखंड कर सकते हैं। पहले GCF निकालना न भूलें! आपके पास (x - 1/3) (3) (1x^2 + 3x + 2) रह गया है। द्विघात समीकरण के माध्यम से त्रिपद का गुणनखंड करें (इस समीकरण का उपयोग चरण [6] में एक उदाहरण के रूप में किया गया था, इसलिए यदि आपको आवश्यकता हो तो वापस देखें)। आपके पास (3) (x - 1/3) (x - ((-3 + sqrt 17)/2)) (x - ((-3 - sqrt 17)/2)) होगा। बहुत बदसूरत, लेकिन आप इसे इस तरह करते हैं।

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चरण 9: आगे फैक्टरिंग: अपरिमेय और कल्पनाएँ

एक पूर्ण मूल के बिना द्विपद संख्या को एक वर्ग चर से घटाया जा रहा है जैसे (x^2 - 2) वर्गमूल का उपयोग करके आगे बढ़ाया जा सकता है। (एक्स + वर्ग (2)) (एक्स - वर्ग (2))। यह संख्याओं के अपरिमेय सेट में लाता है।

एक वर्ग चर में जोड़ी गई संख्या वाले द्विपद जैसे (x^2 + 1) को काल्पनिक संख्याओं का उपयोग करके आगे बढ़ाया जा सकता है। "i" ऋणात्मक के वर्गमूल के लिए है। तो (x^2 + 1) को (x + i) (x - i) में विभाजित किया जा सकता है। यह संख्याओं के काल्पनिक सेट में लाता है।

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चरण 10: हुज़ाह

अब आप जानते हैं कि किसी भी संख्या या व्यंजक का गुणनखंड कैसे किया जाता है, जिसे आप शायद कभी भी देखेंगे। आपके लिए अच्छा हैं!

वहाँ भी कार्यक्रम हैं जो आपके लिए यह कर सकते हैं। यदि आप "पॉलीरूट" पर गूगल करते हैं तो आपको अपने कंप्यूटर के लिए कुछ प्रोग्रामों के लिंक मिलेंगे। HP 39/40gs रेखांकन कैलकुलेटर में पॉलीरूट फ़ंक्शन अंतर्निहित है। यदि आपके पास TI-89 रेखांकन कैलकुलेटर है, तो इसमें एक फैक्टरिंग फ़ंक्शन भी है। पहले के मॉडल TI रेखांकन कैलकुलेटर में यह नहीं बनाया गया है, लेकिन उनके पास फैक्टरिंग प्रोग्राम हैं। Google "ti वर्गबद्ध सॉल्वर" उन कार्यक्रमों के लिए जिन्हें आप अपने TI रेखांकन कैलकुलेटर में स्थानांतरित कर सकते हैं।

आप द्विघात समीकरणों का रेखांकन करके और 'शून्य' फ़ंक्शन का उपयोग करके यह गणना करने के लिए वास्तविक समाधान भी पा सकते हैं कि ग्राफ़ x-अक्ष को कहाँ काटता है। फिर आप उस नंबर को "x -" के आगे चिपका सकते हैं।

अस्वीकरण: अधिकांश गणित वर्ग या तो कैलकुलेटर को अस्वीकार कर देते हैं जो कारक हो सकते हैं, या आपको प्रोग्राम करने योग्य कैलकुलेटर की मेमोरी (प्रोग्राम के साथ) साफ़ कर सकते हैं। साथ ही, यदि किसी समाधान में एक गैर-प्राकृतिक जड़ है, तो आपको दशमलव की एक लंबी स्ट्रिंग मिलेगी जो उत्तर के रूप में अनुपयुक्त है। बस इसे हाथ से करना सीखें।