कोण

गणना में, एक कोण को एक विशिष्ट अंत बिंदु पर दो बीमों की बैठक द्वारा तैयार की गई आकृति के रूप में वर्णित किया जा सकता है।

एक कोण को छवि द्वारा संबोधित किया जाता है। यहाँ, नीचे का कोण ∠AOB है।

एक कोण के भाग:

शस्त्र: दो मुस्कराते हुए एक कोण आकार देने के लिए शामिल होने के कोण की भुजाओं कहा जाता है। यहाँ, OA और OB AOB की भुजाएँ हैं।

वर्टेक्स: मूल अंत बिंदु जहां दो बीम एक कोण को आकार देने के लिए मिलते हैं, वर्टेक्स के रूप में जाना जाता है। यहाँ, बिंदु O AOB का शीर्ष है।

कोणों के प्रकार

कोणों को उनके अनुमानों के आधार पर व्यवस्थित किया जा सकता है:

  • न्यून कोण - समकोण - अधिक कोण

  • सीधे कोण - प्रतिवर्त कोण - पूर्ण कोण

शून्य कोण

शून्य कोण (0°) एक ऐसा कोण होता है जिसे तब बनाया जाता है जब दोनों कोणों की भुजाएं समान स्थिति में हों।

:

कोण और विवरण का क्रमबद्ध करें

तीव्र कोण

90° . से कम है

समकोण

ठीक 90° है

अधिक कोण

९०° से अधिक उल्लेखनीय है लेकिन १८० . के नीचे

रेखीय कोण

ठीक १८०° है

पलट कोण

180° . से अधिक उल्लेखनीय है

पूर्ण रोटेशन

360° ठीक है

आंतरिक और बाहरी कोण:

आंतरिक कोण: आंतरिक कोण एक आकृति के अंदर या अंदर बने कोण होते हैं।

यहाँ, XBC, BCX और CXB अंतः कोण हैं।

बाहरी कोण: बाहरी कोण एक आकृति के किसी भी पक्ष के बीच बाहर बनाए गए कोण होते हैं, और एक रेखा जो सटे हुए पक्ष से फैली हुई होती है। यहाँ, ACD एक बाहरी कोण है।

मोड़ के आधार पर कोणों का समूहन

क्रांति के क्रम को देखते हुए, विशिष्ट होने के लिए कोणों को दो वर्गीकरणों में क्रमबद्ध किया जा सकता है;

• सकारात्मक कोण

• ऋणात्मक कोण

सकारात्मक कोण

सकारात्मक कोण कोणों के प्रकार होते हैं जिनके अनुमान आधार से वामावर्त तरीके से लिए जाते हैं।

ऋणात्मक कोण

ऋणात्मक कोणों को आधार से दक्षिणावर्त अनुमानित किया जाता है।

विभिन्न प्रकार के कोण

उपरोक्त परीक्षित कोणों के अलावा, विभिन्न प्रकार के कोण हैं जिन्हें युग्म कोण के रूप में जाना जाता है। उन्हें युग्म कोण कहा जाता है क्योंकि वे एक विशिष्ट गुण दिखाने के लिए दो बटा दो दिखाते हैं। य़े हैं:

• आसन्न कोणों में एक समान शीर्ष और भुजा होती है।

• पूरक कोण: कोणों को जोड़ो जो 90º के बराबर हों।

• अनुपूरक कोण: कोणों का युगल कोण जिनके कोणों की मात्रा 180º के बराबर होती है।

• उर्ध्वाधर विपरीत कोण। शीर्षाभिमुख कोण तुल्य होते हैं।

• वैकल्पिक आंतरिक कोण: जब एक रेखा दो समान रेखाओं से मिलती है तो वैकल्पिक आंतरिक कोण युग्म कोण होते हैं। स्थानापन्न आंतरिक कोण लगातार एक दूसरे के बराबर होते हैं।

• वैकल्पिक बाहरी कोण: वैकल्पिक बाहरी कोण अनिवार्य रूप से अन्य आंतरिक कोणों के लंबवत कोण होते हैं। स्थानापन्न बाहरी कोण समान होते हैं।

• संगत कोण: जब कोई रेखा दो समान रेखाओं को मिलाती है तो संगत कोण युग्म कोण होते हैं। संगत कोण भी एक दूसरे के तुल्य होते हैं।

कोणों को लेबल करने के निर्देश

कोणों को चिह्नित करने के लिए दो सिद्धांत दृष्टिकोण हैं:

  1. कोण को एक नाम दें, आमतौर पर ए या बी की तरह एक लोअर-केस अक्षर, या कभी-कभी ग्रीक अक्षर जैसे α (अल्फा) या θ (थीटा)

  2. या फिर तीन अक्षरों से उस आकार पर जो कोण को चिह्नित करता है, जिसमें केंद्र अक्षर वह स्थान होता है जहां कोण वास्तव में होता है (इसका शीर्ष)।

मॉडल कोण "ए" "बीएसी" है, और कोण "θ" "बीसीडी" है

गणित में सर्वांगसम महत्व

गणित में सर्वांगसमता का महत्व उन आकृतियों और आकृतियों तक जाता है जिन्हें अलग-अलग आकृतियों से सहमत होने के लिए बदला या बदला जा सकता है। इन आकृतियों को तुलनात्मक आकृतियों के साथ मिलान करने के लिए परावर्तित किया जा सकता है।

दो आकृतियाँ सर्वांगसम होती हैं यदि उनके आकार और आकार समान हों। हम इसी प्रकार कह सकते हैं कि यदि दो आकृतियाँ सर्वांगसम हों, तो एक आकृति का समान निरूपण दूसरी आकृति के समान ही होता है।

सर्वांगसम कोण क्या होते हैं?

सर्वांगसम कोण कम से कम दो कोण होते हैं जिनका माप समान होता है। सीधे शब्दों में कहें तो उनके पास समान संख्या में डिग्रियां हैं। यह ध्यान रखना अनिवार्य है कि कोणों के किनारों की लंबाई या कोणों के असर का उनकी सर्वांगसमता पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है। उनकी क्रिया कितनी भी लंबी क्यों न हो, कोणों को सर्वांगसम माना जाता है।

गणना में सर्वांगसम का अर्थ है कि एक आकृति, चाहे वह (लाइन खंड, बहुभुज, कोण, या 3D आकार) हो, एक बेला और आकार के रूप में दूसरे फिट से अप्रभेद्य है। सर्वांगसम आकृतियों पर संगत कोण सर्वांगसम होते हैं।

सर्वांगसम कोणों में एक समान कोण होता है (डिग्री और रेडियन में, दोनों कोणों के माप की इकाइयाँ हैं)।

कोण तब तक सर्वांगसम होते हैं जब तक कोण कुछ समान होते हैं, उन्हें एक समान तरीके से इंगित करने की आवश्यकता नहीं होती है, उन्हें समान लंबाई की रेखाओं के साथ बनाने की आवश्यकता नहीं होती है।

हमारे पास अब और फिर से आकृतियों में सर्वांगसम कोण हैं। सर्वांगसम कोणों के दस्तावेजीकरण की एक विधि का होना अनिवार्य है-- इससे हमें आकृतियों के गुणों को समझने में सहायता मिलती है। आपको बाद में दस्तावेज़ीकरण के लाभ दिखाई देने लगेंगे।

हम एक नियम के रूप में सर्वांगसम कोणों पर छोटी रेखाओं का एक समान माप रखते हैं। उदाहरण के लिए, कोण S और W सर्वांगसम हैं, और वे दोनों दो छोटी रेखाओं द्वारा अलग किए गए हैं। कोण R और X सर्वांगसम हैं और वे दोनों एक छोटी रेखा द्वारा अलग रखे गए हैं। अनिवार्य रूप से, हम इसी तरह समकक्ष पंक्तियों का दस्तावेजीकरण कर सकते हैं। रेखा RS और XW समतुल्य हैं, इसलिए वे दोनों तीन छोटी रेखाओं से अलग हैं।

त्रिभुज की सर्वांगसमता:

त्रिभुजों का संयोग: दो त्रिभुजों को सर्वांगसम माना जाता है यदि तीन संगत भुजाओं में से प्रत्येक तुल्य हो और तीन संगत कोणों में से प्रत्येक माप में तुल्य हो। ये त्रिकोण स्लाइड हो सकते हैं, पिवोट किए जा सकते हैं, फ़्लिप किए जा सकते हैं और अप्रभेद्य प्रतीत होते हैं। जब भी उन्हें स्थान दिया जाता है, वे एक-दूसरे से सहमत होते हैं। संगतता की छवि '≅' है।

सर्वांगसम त्रिभुजों की संगत भुजाएँ और कोण समतुल्य होते हैं। मूल रूप से चार सर्वांगसमता निर्णय हैं जो यह प्रदर्शित करते हैं कि क्या दो त्रिभुज सर्वांगसम हैं। किसी भी मामले में, छह मापों में से प्रत्येक को ट्रैक करना महत्वपूर्ण है। इसके बाद, छह में से केवल तीन गुणों को जानकर त्रिभुजों के संयोग का आकलन किया जा सकता है। गणित में संयोग का महत्व तब होता है जब दो आकृतियाँ एक दूसरे के समान होती हैं जो उनके आकार और आकार पर निर्भर करती हैं। इसी तरह, यहाँ सर्वांगसम आकृतियों के बारे में पता करें।

संगति वह शब्द है जिसका उपयोग किसी वस्तु और उसके पूर्ण प्रतिनिधित्व को चिह्नित करने के लिए किया जाता है। दो वस्तुओं या आकृतियों को एक दूसरे पर आरोपित करने की स्थिति में सर्वांगसम होना चाहिए। उनका आकार और माप कुछ बहुत समान है। गणितीय आंकड़ों के कारण, समान लंबाई वाले रेखा भाग सर्वांगसम होते हैं और समान माप वाले कोण सर्वांगसम होते हैं।

सर्वांगसम रेखा खंड

परिभाषा : रेखा के भाग उस स्थिति में सर्वांगसम होते हैं जब उनकी लंबाई समान होती है

रेखा के भाग इस घटना में सर्वांगसम होते हैं कि उनकी लंबाई समान होती है। किसी भी मामले में, उन्हें समान होने की आवश्यकता नहीं है। वे विमान के किसी भी कोण या दिशा में हो सकते हैं। ऊपर की आकृति में, दो सर्वांगसम रेखा खंड हैं। ध्यान दें कि वे विभिन्न कोणों पर बिछा रहे हैं। इस घटना में कि आप चार समापन बिंदुओं में से किसी एक को खींचते हैं, दूसरा खंड आपके द्वारा विकसित किए जा रहे एक के अनुरूप रहने के लिए लंबाई बदल देगा।

लाइन अनुभागों के लिए, 'सर्वांगसम' 'दृष्टिकोण' कहने जैसा है। आप कह सकते हैं "लाइन PO की लंबाई लाइन EL की लंबाई तक बढ़ जाती है"। फिर भी, गणित में, यह कहने का सही तरीका है कि "लाइन सेक्शन PO और EL सर्वांगसम हैं" या, "PO, EL के सर्वांगसम हैं"।

ऊपर की आकृति में, लाइनों पर एकल 'ऐंठन' के निशान पर ध्यान दें। ये एक चित्रमय विधि है जो यह दर्शाती है कि दो रेखा भाग सर्वांगसम हैं।

बीम और रेखाएं इस आधार पर सर्वांगसम नहीं हो सकतीं कि उनके पास दोनों अंत केंद्रित नहीं हैं, इस प्रकार उनकी कोई स्पष्ट लंबाई नहीं है।

सर्वांगसम कोण चिह्न

कोणों पर बात करने और व्याख्या करने या आकर्षित करने के लिए, हमें उन्हें चित्रित करने के लिए नियमित छवियों और शब्दों की आवश्यकता होती है। हमारे पास तीन चित्र हैं जिनका गणितज्ञ उपयोग करते हैं:

• का अर्थ है कि एक चीज दूसरी चीज के सर्वांगसम है

• का अर्थ है एक कोण

• कुछ समय का उपयोग जानबूझकर कोण दिखाने के लिए किया जाता है

•°°, जैसा कि 45°45° में है, का अर्थ है डिग्री

• रेडैड का अर्थ है रेडियन, दशमलव मानक में कोणों के आकलन की एक रणनीति

सर्वांगसमता का प्रतिवर्त गुण

सर्वांगसमता का प्रतिवर्त गुण हमें बताता है कि कोई भी गणितीय आकृति अपने आप में सर्वांगसम होती है। दिए गए आकार और आकार का एक रेखा भाग, कोण, बहुभुज, वृत्त या कोई अन्य आकृति स्व-समरूप होती है।

कोणों में ग्रहणशीलता का एक मात्रात्मक स्तर होता है, इसलिए उनके पास स्पष्ट आकार और आकार होते हैं। इन रेखाओं के अनुदिश प्रत्येक कोण अपने आप में सर्वांगसम होता है।

सर्वांगसम कोण बनाना

आप एक ड्रॉइंग कंपास, एक स्ट्रेटेज और एक पेंसिल का उपयोग करके सर्वांगसम कोण बना सकते हैं, या बोधगम्य मौजूदा सर्वांगसम कोणों का विश्लेषण कर सकते हैं।

शायद सर्वांगसम कोणों को आकर्षित करने का सबसे सरल तरीका क्रॉस-ओवर द्वारा काटी गई दो समान रेखाएँ खींचना है। आपके आरेखण में संगत कोण सर्वांगसम होंगे। आपके पास सर्वांगसमता वाले कोणों के विभिन्न समुच्चय होंगे।

सर्वांगसम कोणों को आकर्षित करने की एक अन्य सरल विधि एक सही कोण या एक सही त्रिभुज बनाना है। उस बिंदु पर, उस समकोण को कोण समद्विभाजक से काटें। इस घटना में कि आप कोण को ठीक-ठीक अलग करते हैं, आपको दो सर्वांगसम तीव्र कोणों पर छोड़ दिया जाता है, जिनमें से प्रत्येक का अनुमान 45°45° होता है।

जैसा कि हो सकता है, एक ऐसे परिदृश्य की कल्पना करें जहां आपके पास एक दिया गया कोण है और इसके करीब एक अप्रभेद्य (सर्वांगसम) कोण खींचने की आवश्यकता है:

सर्वांगसम कोणों को कैसे खींचना है, इसके साधन यहां दिए गए हैं:

  1. अपने अद्वितीय कोण के एक तरफ एक बीम बनाएं, फिर भी कुछ दूरी पर। अपने बीम के लिए एक समापन बिंदु बनाएं और उसे नाम दें। हम अपना खुद का प्वाइंट एमपॉइंट एम कहेंगे।

  2. अपना ड्राइंग कंपास खोलें ताकि कंपास पर बिंदु वर्तमान कोण के शीर्ष पर सेट किया जा सके, फिर भी पेंसिल खींची गई रेखा के टुकड़े या वर्तमान कोण के बीम तक नहीं पहुंचती है।

  3. कंपास को बदले बिना, अपनी नई ड्राइंग पर प्वाइंट एमपॉइंट एम पर कंपास का निशान लगाएं। अपने नए बीम के ऊपर प्वाइंट एमपॉइंट एम से स्पेस में ऊपर की ओर झुकें।

  4. कम्पास को पहले कोण के एक बीम पर एक बिंदु को हाइलाइट करें, उस बिंदु पर ड्राइंग कंपास को बदलें, ताकि पेंसिल दूसरे बिंदु से संपर्क करे। यहां हम अपना कंपास प्वाइंट केपॉइंट के पर लगाते हैं और इसके साथ प्वाइंट वाईपॉइंट वाई पर पहुंचते हैं।

  5. कंपास को बदले बिना, कंपास को स्थानांतरित करें, नए बीम के बिंदु को हाइलाइट करें, यहां प्वाइंट यू प्वाइंट, और अपने अद्वितीय वक्र से मिलने वाले गोलाकार खंड को स्विंग करें।

  6. दो मोड़ों के अभिसरण के साथ, यहां प्वाइंट एमपॉइंट एम, शीर्ष को इंटरफेस करने के लिए अपने स्ट्रेटेज का उपयोग करें। आपने वर्तमान कोण को दोहराया है।

यदि आपको दो कोणों के बारे में सोचने की आवश्यकता है जिनका नाम उनकी डिग्री या रेडियन के साथ नहीं है, तो आप दो कोणों पर फ़ोकस खोजने और उनकी पारदर्शिता के स्तर को मापने के लिए एक आकर्षक कम्पास का उपयोग कर सकते हैं।

यदि आपके पास एक चांदा सुविधाजनक नहीं है, तो आप कोण के अनुमान की भावना प्राप्त करने के लिए खोजी गई वस्तुओं का उपयोग कर सकते हैं। कागज के एक टुकड़े का वर्गाकार किनारा 90°90° है। इस घटना में कि आप उस कोने को क्रीज करते हैं ताकि अलग-अलग भुजाएँ ठीक-ठीक पंक्तिबद्ध हों, आपके पास 45°45° का कोण है।

दो कोणों की स्थिति या दिशा का उनकी सर्वांगसमता से कोई लेना-देना नहीं है। दो परिवर्तित तरीकों से देखने पर कोण सर्वांगसम हो सकते हैं।

त्रिभुजों की सर्वांगसमता के लिए शर्तें:

• एसएसएस (साइड-साइड-साइड)

• एसएएस (साइड-एंगल-साइड)

• एएसए (कोण-पक्ष-कोण)

• एएएस (कोण-कोण-पक्ष)

• आरएचएस (समकोण-कर्ण-पक्ष)

सर्वांगसम कोणों के उदाहरण

जबकि कोण G और कोण S एक समान पथ का सामना नहीं कर रहे हैं, हम देख सकते हैं कि उनका समानुपात 42 डिग्री है, और इसलिए, वे सर्वांगसम हैं।

जबकि कोण R और कोण Q में विभिन्न लंबाई के किनारे हैं, हम देख सकते हैं कि उनका समान अनुपात 155 डिग्री है, और इस तरह, वे सर्वांगसम हैं।

ये मॉडल हमारी मदद करते हैं कि किसी भी मामले में कोणों के किनारों की लंबाई या असर वाले कोणों को याद रखने के लिए, जब तक कोणों के समान माप होते हैं, उन्हें सर्वांगसम के रूप में देखा जाता है।

महत्वपूर्ण शब्दावली और संकेतन

इससे पहले कि हम सर्वांगसम कोण बनाना शुरू करें, सर्वांगसम की परिभाषा के बावजूद कुछ प्रमुख शब्दजाल और दस्तावेज हैं जिन्हें आपको जानना आवश्यक है, जो अनिवार्य रूप से एक समान कोण अनुमान का अर्थ है। इसी तरह, ध्यान दें कि 'सर्वांगसम' के लिए छवि इस तरह दिखती है:

आपको इसके अतिरिक्त शीर्ष के महत्व को समझने की आवश्यकता है, जहां दो रेखाएं एक कोण बनाने के लिए मिलती हैं; और कम्पास, एक बिंदु और एक पेंसिल के साथ एक उपकरण जिसका उपयोग मोड़ और वृत्त बनाने के लिए किया जाता है।

आप किसी कोण को उसके शीर्ष पर एक अक्षर लगाकर नाम दे सकते हैं। उदाहरण के लिए, जिस कोण पर शीर्ष चिह्नित D है, उसे कोण D कहा जाएगा। इसे इसी तरह से बनाया जा सकता है:

दो सर्वांगसम कोणों के दस्तावेज़ीकरण को जानना अतिरिक्त रूप से महत्वपूर्ण है। यह इस खंड में संदर्भित छवियों की संपूर्णता में शामिल हो जाता है:

शब्दों में हम कह रहे हैं कि कोण D, कोण F के सर्वांगसम है।

सीपीसीटी फुल फॉर्म

जब हम सर्वांगसम त्रिभुज के बारे में पता लगाते हैं तो CPCT वह शब्द होता है, जिस पर हम विचार करते हैं। CPCT का अर्थ है "सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग"। जैसा कि हम जानते हैं कि सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत टुकड़े समतुल्य होते हैं। त्रिभुजों के साथ पहचाने गए विचारों को प्रबंधित करते हुए और प्रश्नों को हल करते हुए, हम नियमित रूप से संक्षिप्त शब्दों में संक्षिप्त शब्दों का उपयोग करते हैं, न कि पूर्ण संरचना।

गणित में सीपीसीटी नियम

CPCT का पूर्ण रूप सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत टुकड़े हैं। एक त्रिभुज की भुजाओं और कोणों का वास्तव में आकलन किए बिना सर्वांगसमता का अनुमान लगाया जा सकता है। सर्वांगसमता के विभिन्न मानक निम्नलिखित हैं।

त्रिभुज सर्वांगसम हैं या नहीं यह पता लगाने के निर्देश

दो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं यदि उनके पास है:

• बिल्कुल समान तीन भुजाएँ और

• बिल्कुल समान तीन कोण।

वैसे भी, हमें तीनों पक्षों में से प्रत्येक को और तीनों कोणों में से प्रत्येक को जानने की आवश्यकता नहीं है … आम तौर पर छह में से तीन पर्याप्त होते हैं।

यह पता लगाने के पांच अलग-अलग तरीके हैं कि क्या दो त्रिकोण सर्वांगसम हैं: एसएसएस, एसएएस, एएसए, एएएस और एचएल।

1. एसएसएस (साइड, साइड, साइड)

SSS का अर्थ है "भुजा, भुजा, भुजा" और इसका तात्पर्य है कि हमारे पास दो त्रिभुज हैं जिनमें से प्रत्येक तीन भुजाओं के बराबर है।

इस घटना में कि एक त्रिभुज की तीन भुजाएँ दूसरे त्रिभुज की तीन भुजाओं के बराबर होती हैं, त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।

2. एसएएस (पक्ष, कोण, पक्ष)

SAS का अर्थ है "भुजा, कोण, भुजा" और इसका तात्पर्य है कि हमारे पास दो त्रिभुज हैं जहाँ हम अलग-अलग भुजाएँ जानते हैं और सम्मिलित कोण समतुल्य हैं।

इस घटना में कि एक त्रिभुज की विभिन्न भुजाएँ और सम्मिलित कोण दूसरे त्रिभुज की संगत भुजाओं और कोणों के तुल्य हैं, त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।

3. एएसए (कोण, पक्ष, कोण)

एएसए का अर्थ है "कोण, भुजा, कोण" और इसका अर्थ है कि हमारे पास दो त्रिकोण हैं जहां हम दो कोणों को जानते हैं और शामिल पक्ष समतुल्य हैं।

इस घटना में कि एक त्रिभुज के दो कोण और सम्मिलित भुजा दूसरे त्रिभुज के संगत कोणों और भुजाओं के तुल्य हैं, त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।

4. एएएस (कोण, कोण, पक्ष)

AAS का अर्थ है "कोण, कोण, भुजा" और इसका तात्पर्य है कि हमारे पास दो त्रिभुज हैं जहाँ हम दो कोणों को जानते हैं और गैर-शामिल पक्ष समतुल्य हैं।

इस घटना में कि एक त्रिभुज के दो कोण और गैर-शामिल भुजा दूसरे त्रिभुज के संगत कोणों और भुजा के बराबर हैं, त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।

5. एचएल (कर्ण, पैर)

यह केवल समकोण-त्रिकोण पर लागू होता है!

या फिर फिर

HL का अर्थ है "कर्ण, पैर" (एक समकोण त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा को "कर्ण" के रूप में जाना जाता है, अन्य विभिन्न पक्षों को "पैर" कहा जाता है)

इसका तात्पर्य है कि हमारे पास दो समकोण त्रिभुज हैं जिनमें

• कर्ण की समान लंबाई और

• अन्य दो पैरों में से एक के लिए समान लंबाई।

इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि कौन सा पैर त्रिकोण को घुमाया जा सकता है।

इस घटना में कि एक समकोण त्रिभुज का कर्ण और एक पैर दूसरे समकोण त्रिभुज के संगत कर्ण और पाद के तुल्य हैं, दोनों त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।

चेतावनी! "एएए" का उपयोग न करने का प्रयास करें

AAA का तात्पर्य है कि हमें त्रिभुज के तीनों कोणों में से प्रत्येक दिया गया है, फिर भी कोई भुजा नहीं है।

तीन संगत कोणों में से प्रत्येक का समतुल्य होना सर्वांगसमता प्रदर्शित करने के लिए पर्याप्त नहीं है

यह चुनने के लिए पर्याप्त डेटा नहीं है कि क्या दो त्रिभुज सर्वांगसम हैं!

चूँकि त्रिभुजों में समान कोण हो सकते हैं, हालाँकि विभिन्न आकार हो सकते हैं:

किसी भी एक पक्ष को जाने बिना, हम निश्चित नहीं हो सकते कि क्या दो त्रिभुज सर्वांगसम हैं।

सर्वांगसम त्रिभुज - क्यों SSA काम नहीं करता

विभिन्न पक्षों और गैर-शामिल कोण (एसएसए) को देखते हुए सर्वांगसमता प्रदर्शित करने के लिए पर्याप्त नहीं है।

आप यह महसूस करने के लिए मोहित हो सकते हैं कि अलग-अलग पक्षों को देखते हुए और एक गैर-शामिल कोण सर्वांगसमता प्रदर्शित करने के लिए पर्याप्त है। फिर भी, बोधगम्य दो त्रिभुज हैं जिनमें समान गुण हैं, इसलिए सर्वांगसमता प्रदर्शित करने के लिए SSA पर्याप्त नहीं है।

ऊपर दिए गए चित्र में, ऊपर के दो त्रिभुज प्रथम सर्वांगसम हैं। फिर भी, यदि आप “अन्य त्रिभुज दिखाएँ” पर क्लिक करते हैं, तो आप देखेंगे कि एक और त्रिभुज है जो सर्वांगसम नहीं है, लेकिन वास्तव में वह SSA शर्त को पूरा करता है। पेट की मांसपेशी पीक्यू के समान लंबाई है, बीसी क्यूआर के समान लंबाई है, और कोण ए भी पी के समान माप है। लेकिन फिर त्रिकोण स्पष्ट रूप से सर्वांगसम नहीं हैं - उनके पास एक वैकल्पिक आकार और आकार है।

तो मैं कल्पना के किसी भी हिस्से से एसएसए का उपयोग नहीं कर सकता?

बिलकुल अकेला - नहीं। जैसा भी हो, आप इसका उपयोग तब कर सकते हैं जब आप यह भी सत्यापन करते हैं कि दो संभावित त्रिभुजों में से कौन सा चित्रित किया गया है।

सर्वांगसम बहुभुज

परिभाषा: बहुभुज सर्वांगसम होते हैं जब उनकी भुजाओं की संख्या समान होती है, और प्रत्येक संगत भुजा और आंतरिक कोण सर्वांगसम होते हैं। बहुभुजों का एक समान आकार और आकार होगा, फिर भी एक मोड़ हो सकता है, या दूसरे का सही प्रतिनिधित्व हो सकता है।

नोट: यह खंड सभी बहुभुजों की सर्वांगसमता का प्रबंधन करता है। सर्वांगसम त्रिभुजों में सर्वांगसम त्रिभुजों की अधिक गहराई से जाँच की जाती है।

बहुभुज इस घटना में सर्वांगसम हैं कि वे सभी चीजों को एक साथ लेने के बराबर हैं:

• भुजाओं की समान संख्या

• सभी संगत भुजाएँ समान लंबाई की हैं,

• सभी संगत आंतरिक कोण एक समान माप हैं।

किसी भी मामले में, उन्हें पृष्ठ पर चालू किया जा सकता है और एक दूसरे का समान प्रतिनिधित्व हो सकता है। नीचे दिए गए चित्र में, दिखाए गए सभी अप्रत्याशित पेंटागन सर्वांगसम हैं। कुछ दूसरों के पूर्ण निरूपण हैं, हालाँकि अभी तक सर्वांगसम हैं। (सर्वांगसम त्रिभुजों पर पृष्ठ देखें जहां इन विचारों को अधिक उल्लेखनीय गहराई में दर्शाया गया है।)

इस पर विचार करने के लिए एक दृष्टिकोण यह है कि बहुभुज कार्डबोर्ड से बने होते हैं। इस घटना में कि आप उन्हें स्थानांतरित कर सकते हैं, उन्हें पलट दें और उन्हें ठीक एक दूसरे के ऊपर ढेर कर दें, उस समय वे सर्वांगसम होते हैं। इसे देखने के लिए, नीचे किसी भी बहुभुज पर क्लिक करें। यह प्रदर्शित करने के लिए कि वे सर्वांगसम हैं, मामले के आधार पर इसे पलटा, घुमाया और दूसरे पर ढेर किया जाएगा।

संख्यात्मक रूप से बात करें तो, बहुभुजों पर की जाने वाली प्रत्येक गतिविधि तीन प्रकारों में से एक होती है:

• रोटेशन

यह वह स्थान है जहां बहुभुज एक निश्चित बिंदु के बारे में एक विशिष्ट योग द्वारा घुमाया जाता है। एप्लेट ओवर में, पिवट बहुभुज के अंदर एक बिंदु के आसपास होते हैं, फिर भी किसी भी बिंदु को उठाया जा सकता है।

• प्रतिबिंब

उस बिंदु पर जब बहुभुज 'फ्लिप ओवर' हो जाता है, इस गतिविधि को परावर्तन कहा जाता है। मूल रूप से बहुभुज किसी दी गई रेखा पर 'प्रतिबिंबित' होता है। हो सकता है कि रेखा के प्रत्येक पक्ष पर फ़ोकस प्रतिबिम्बित हो, रेखा को दर्पण मानते हुए। उपरोक्त एप्लेट में, गतिविधि के दौरान प्रतिबिंब की रेखा दिखाई देती है।

• अनुवाद

उस बिंदु पर जब बहुभुज को एक बिंदु से शुरू करके दूसरे बिंदु पर ले जाया जाता है, इसे 'व्याख्या' कहा जाता है। उस बिंदु पर जब बहुभुज की व्याख्या की जाती है, इसे स्थानांतरित कर दिया जाता है, हालांकि बिना किसी मोड़ के।

सर्वांगसमता के लिए परीक्षण

बहुभुज की सर्वांगसमता का परीक्षण करने के चार अलग-अलग तरीके हैं, जो इस बात पर निर्भर करते हैं कि आपको शुरू करने के लिए क्या दिया गया है। सर्वांगसमता के लिए परीक्षण बहुभुज देखें।

उपरोक्त तीन प्रकार की गतिविधियों को 'परिवर्तन' कहा जाता है। मूल रूप से, वे एक आकृति को इधर-उधर बदलकर दूसरे में बदल देते हैं - धुरी, प्रतिबिंब और व्याख्या।

यहाँ क्या महत्व है?

यह मानते हुए कि आपने दिखाया है कि दो बहुभुज सर्वांगसम हैं, आपको पता चलता है कि बहुभुज का प्रत्येक गुण अतिरिक्त रूप से अप्रभेद्य है। उदाहरण के लिए उनके पास एक समान क्षेत्र, किनारे, बाहरी कोण, एपोथेम आदि होंगे

त्रिभुज:

साइड-साइड-साइड (एसएसएस) सर्वांगसमता यदि एक त्रिभुज की तीन भुजाएँ दूसरे त्रिभुज की तीन भुजाओं के सर्वांगसम हों, तो उस बिंदु पर त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।

भुजा-कोण-भुजा (SAS) सर्वांगसमता यदि एक त्रिभुज की विभिन्न भुजाएँ और सम्मिलित कोण दूसरे त्रिभुज के संगत टुकड़ों के सर्वांगसम हों, तो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।

कोण-भुजा-कोण (एएसए) सर्वांगसमता यदि एक त्रिभुज के दो कोण और सम्मिलित भुजा दूसरे त्रिभुज के संगत टुकड़ों के सर्वांगसम हों, तो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।

कोण-कोण-भुजा (AAS) सर्वांगसमता यदि एक त्रिभुज के दो कोण और गैर-शामिल भुजा दूसरे त्रिभुज के संगत टुकड़ों के सर्वांगसम हों, तो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।

कर्ण-पैर (HL) सर्वांगसमता (समकोण त्रिभुज) यदि एक समकोण त्रिभुज का कर्ण और पैर दूसरे सही त्रिभुज के संगत टुकड़ों के सर्वांगसम हैं, तो दो समकोण त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।

CPCTC सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग सर्वांगसम होते हैं।

कोण-कोण (AA) समानता यदि एक त्रिभुज के दो कोण दूसरे त्रिभुज के दो कोणों के सर्वांगसम हों, तो त्रिभुज तुलनात्मक होते हैं।

समानता के लिए SSS यदि दो त्रिभुजों की संगत भुजाओं की तीन व्यवस्थाएँ विस्तार में हों, तो त्रिभुज तुलनीय होते हैं।

समानता के लिए SAS यदि एक त्रिभुज का एक कोण दूसरे त्रिभुज के संगत कोण के सर्वांगसम हो और इन कोणों को शामिल करने वाली भुजाओं की लंबाई हद में हो, तो त्रिभुज तुलनीय होते हैं।

पार्श्व आनुपातिकता यदि दो त्रिभुज तुलनीय हैं, तो संगत भुजाएँ विस्तार में हैं।

मध्य खंड प्रमेय

(अतिरिक्त रूप से मध्य रेखा कहा जाता है) एक त्रिभुज की विभिन्न भुजाओं के मध्य बिंदुओं को मिलाने वाला भाग तीसरी भुजा के अनुरूप होता है और आधा लंबा होता है।

दो भुजाओं का योग त्रिभुज की किन्हीं भिन्न भुजाओं की लंबाई की मात्रा तीसरी भुजा से अधिक प्रमुख होनी चाहिए

सबसे लंबी भुजा किसी त्रिभुज में सबसे बड़ी भुजा सबसे बड़े कोण के विपरीत होती है।

एक त्रिभुज में, सबसे बड़ा कोण सबसे लंबी भुजा के विपरीत होता है।

ऊंचाई नियम एक सही त्रिभुज के कर्ण की ऊंचाई उन टुकड़ों के बीच का माध्य है जिसमें यह कर्ण को अलग करता है।

लेग रूल एक सही त्रिभुज का प्रत्येक पैर कर्ण और कर्ण पर पैर के प्रक्षेपण के बीच का माध्य सापेक्ष होता है।

निष्कर्ष

सर्वांगसम कोण समान माप वाले कोण होंगे। मॉडल: दिखाई गई आकृति में, A, B के सर्वांगसम है; उन दोनों का माप 45° है। शीर्ष के करीब समान संख्या में छोटे वक्रों वाले कोणों को दर्शाने के द्वारा आंकड़ों में दिखाई देने वाले कोणों की सर्वांगसमता (यहां हमने उन्हें एक लाल मोड़ के साथ जांचा है)।

सभी कोण जो या तो बाहरी कोण, आंतरिक कोण, स्थानापन्न कोण या संगत कोण होते हैं, संपूर्ण सर्वांगसम होते हैं।

एक सममित त्रिभुज में कोण लगातार 60° होते हैं। जिस बिंदु पर किसी त्रिभुज की दो सर्वांगसम भुजाएँ होती हैं, उसे समद्विबाहु त्रिभुज कहते हैं। समान लंबाई की विभिन्न भुजाओं के सम्मुख कोण सर्वांगसम होते हैं।

सामान्य प्रश्न

आप सर्वांगसम कोणों की खोज कैसे करेंगे?

इस घटना में कि एक त्रिभुज के दो कोण और सम्मिलित भुजा दूसरे त्रिभुज के संगत कोणों और भुजाओं के तुल्य हैं, त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।

किस प्रकार के कोण सर्वांगसम होते हैं?

सभी कोण जो या तो बाहरी कोण, आंतरिक कोण, स्थानापन्न कोण या संगत कोण होते हैं, आमतौर पर सर्वांगसम होते हैं।

क्या एसएसए अनुरूप है?

विभिन्न पक्षों और गैर-शामिल कोण (एसएसए) को देखते हुए सर्वांगसमता प्रदर्शित करने के लिए पर्याप्त नहीं है। ... आपको यह विश्वास करने के लिए लुभाया जा सकता है कि दिए गए विभिन्न पक्षों और एक गैर शामिल कोण सर्वांगसमता प्रदर्शित करने के लिए पर्याप्त है। हालांकि, बोधगम्य दो त्रिभुज हैं जिनमें समान गुण हैं, इसलिए सर्वांगसमता प्रदर्शित करने के लिए SSA पर्याप्त नहीं है।

सर्वांगसम कोणों का क्या महत्व है?

दो कोण सर्वांगसम होते हैं यदि उनके माप समान हों। दो वृत्त सर्वांगसम होते हैं यदि उनकी चौड़ाई समान हो।

क्या सर्वांगसम का अर्थ 90 डिग्री है?

सर्वांगसम कोणों का एक समान कोण (डिग्री या रेडियन में) होता है। संक्षेप में यही है। ये कोण सर्वांगसम होते हैं। उन्हें एक समान तरीके से इंगित करने की आवश्यकता नहीं है।

क्या संपूरक कोण कभी-कभी सर्वांगसम होते हैं?

उत्तर और स्पष्टीकरण: नहीं, पूरक कोण आम तौर पर सर्वांगसम नहीं होते हैं, और हम इसे दो पूरक कोणों का एक उदाहरण दिखा कर प्रदर्शित कर सकते हैं जो सर्वांगसम नहीं हैं, जिसका अर्थ है कि उनके पास समान माप नहीं है। अनुपूरक कोणों को 180° की मात्रा वाले कोणों के रूप में अभिलक्षित किया जाता है।

एसएसएस एसएएस एएसए आस क्या है?

सर्वांगसम त्रिभुज वे त्रिभुज होंगे जिनका आकार और आकार समान होगा। इसका तात्पर्य यह है कि संगत भुजाएँ समतुल्य हैं और संगत कोण समतुल्य हैं। ... इस अभ्यास में, हम त्रिभुज सर्वांगसमता को प्रदर्शित करने के लिए चार मानकों के बारे में सोचेंगे। उन्हें एसएसएस नियम, एसएएस नियम, एएसए नियम और एएएस नियम के रूप में जाना जाता है।

क्या एक सर्वांगसम कोण हमेशा 90 डिग्री होता है?

सर्वांगसम कोणों का कोण समान होता है ( डिग्री या रेडियन में)। बस इतना ही। ये कोण सर्वांगसम हैं । उन्हें एक ही दिशा में इंगित करने की आवश्यकता नहीं है।

क्या सर्वांगसम कोणों का योग 180 होता है?

  1. यदि दो कोण सर्वांगसम हों , तो उनके कोणों की माप बराबर होती है। … 3) त्रिभुज के कोणों का योग 180 डिग्री के बराबर होता है। चूँकि हमारे अज्ञात कोण सर्वांगसम हैं , हम जानते हैं कि उनके कोण माप समान हैं।

सर्वांगसम कोण किस आकार के होते हैं?

चतुर्भुज का नाम विवरण
आयत समानांतर पक्षों के 2 जोड़े। 4 समकोण (90°)। सम्मुख भुजाएँ समांतर और सर्वांगसम होती हैं। सभी कोण सर्वांगसम हैं।
वर्ग 4 सर्वांगसम भुजाएँ । 4 समकोण (90°)। विपरीत पक्ष समानांतर हैं। सभी कोण सर्वांगसम हैं।
चतुर्भुज सम्मुख भुजाओं का केवल एक युग्म समांतर है।

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